高等代数笔记

Theorem 若 $A^2 = A$，则 $r(A) = tr(A)$

设 $A_{n\times n}$ 的秩为 $r$ ，则 $A_{n \times n} = B_{n \times r} C_{r \times n}$，其中 $B$ 和 $C$ 分别是列满秩和行满秩的。

从而 $A^2 = BCBC = BC = A$，可知 $CBC = C$，从而 $CB = E_{r\times r}$.

于是有 $tr(A) = tr(BC) = tr(CB) = tr(E_{r \times r}) = r = r(A) $ .$\blacksquare$

Theorem 若 $A$ 是幂等矩阵，则 $A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $1$

设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\alpha (\alpha \neq 0)$ 为 $\lambda$ 对应的特征向量，则有 $A\alpha = \lambda \alpha$，

左乘矩阵 $A$ 得 $A^2\alpha = \lambda A\alpha = \lambda^2\alpha$，$ A$ 为幂等矩阵，从而 $A^2 \alpha = A\alpha$

于是 $\lambda^2 \alpha = \lambda \alpha$，而 $ \alpha \neq 0$ ，从而 $\lambda^2 = \lambda$ ，即 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 1$

Theorem $tr(AB) = tr(BA)$

$\displaystyle (AB){ii} = \sum{i = 1}^n a_{ij}b_{ji} \rightarrow tr(AB) = \sum_i^n \sum_j^n a_{ij}b_{ji}$，

$\displaystyle (BA){jj} = \sum{j = 1}^n b_{ji}a_{ij} \rightarrow tr(BA) = \sum_j^n \sum_i^n b_{ji}a_{ij}$，

而 $\displaystyle \sum_i^n \sum_j^n a_{ij}b_{ji} = \begin{matrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + \dots + a_{1n}b_{n1} + \ a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + \dots + a_{2n}b_{n2} + \ \quad \vdots \quad + \quad \vdots \quad + \quad + \quad \ddots \quad + \ a_{n1}b_{1n} + a_{n2}b_{2n} + \dots + a_{nn}b_{nn} \end{matrix} = \begin{matrix} a_{11}b_{11} + a_{21}b_{12} + \dots + a_{n1}b_{1n} + \ a_{12}b_{21} + a_{22}b_{22} + \dots + a_{n2}b_{2n} + \ \quad \vdots \quad + \quad \vdots \quad + \quad + \quad \ddots \quad + \ a_{1n}b_{n1} + a_{2n}b_{n2} + \dots + a_{nn}b_{nn} \end{matrix} = \sum_j^n \sum_i^n b_{ji}a_{ij}$

物理应用

例如物理中的图像处理，要处理 $x^2 - 4xy +y^2 = 1$ 的图像，不容易绘制，将其写为矩阵的形式：

\[x^2 - 4xy +y^2 = 1 = (x,y) \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}\]

易得，矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \ -2 & 1 \end{pmatrix}$ 的特征值 $\lambda_1 = -1, \lambda_2 = 3$，

相似对角化后的矩阵为 $\begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & 3 \end{pmatrix}$

则对角化后得到 $(u,v) \begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \ v\end{pmatrix} = -u^2 + 3v^2 = 1$， 即图像为双曲线.